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2016年5月の2件の記事

2016年5月30日 (月)

キネマ航空CEO 航空エンジンのお仕事の効率を翼素理論で考える(プロペラの巻 その 1 )

お詫び。2016/05/29 - 30 に掛けて 図B の差し替えと関連する式の訂正を行いました。日付の変更を伴う再掲載となり、たいへんなご迷惑をおかけいたしました。

キネマ航空CEO

運動エネルギーからプロペラの推進効率を計算すると、ターボジェットと同じになる。以前に学んだモーメンタム理論によるプロペラの推進力は基本的には先回のターボ・ジェットの推進力の理論と同じです。

実際のプロペラの推進力は翼型の揚力が推進力(仕事)となり抗力が投入する回転力とつり合うのでその関係を見つけなければならない。

困ったことに回転するプロペラの回転速度は一定でも周速は半径によって異なり、これに合わせるために翼型断面の角度を変化させなければならない。

速度と半径の関係は簡単な式で表されるが、ある半径での翼型断面の翼弦長と角度から揚力係数と抗力係数の関係を知る必要がある。

これを数式化して飛行機としての推進力と回転力の関係に持っていくにはまず半径と揚力と抗力の関係を表す線形の式をつくり、プロペラの中心から先端までの長さで積分で求めることになる。これは当CEOでなくても至難の業と思える。

現実にはプロペラの半径を適当に分割して各半径毎に効率の良い翼型と翼弦長と角度を決めて、その間を滑らかにつないで作ることになる。(作っていた。・・・の方が正しいのかも・・・しれないが)

特に中心に近づくと遠心力や揚力と抗力による曲げモーメントに対する強度の方が翼型より優先される。

ということで、積分など使わずにプロペラの推進効率の特徴を探ってみることにする。

さて、プロペラを代表する翼型と角度はプロペラ半径の75%の位置の値が使われるらしい。

Photo

この図を 図 A とします。

上にある翼型の性能曲線はプロペラ用の翼型ではありません。参考です。これには揚力、抗力、揚抗比、C.P. 、翼型の形状と座標、データ取得方法と、翼として重要なデータが一枚にまとめられています。 NASA の前身の N.A.C.A. が作成した翼型ハンドブックのチャートからの流用です。

この 図 Aβ は航空工学では αで表される気流に対する迎え角ではありません。プロペラ翼型の回転面に対する幾何学上の角度で、ピッチ角と呼ばれます。「可変」あるいは「固定」”ピッチ”・プロペラの”ピッチ”です。

つぎに、翼としてのプロペラに働く「空気の速度」と「発生する力」の「大きさと方向(ベクトル)」を示す図として、

Aoaand_air_speed
これを、 図 B とします。

同図の右下の部分は 図 A の任意の半径方向の位置 r の翼型断面を示しています。

とりあえず 図 A の75%の位置としておきましょう。そして半径方向に ⊿R の幅と翼弦長 C を持っています。

迎え角 α は、プロペラ自体が回転と共に軸方向に進んでいるため、その移動速度が関係してきます。

まず回転方向の速度は、半径 r の単位を [ m ]として 2πn・r [ m・s-1 ] となる。n はプロペラの単位時間当たりの回転数で単位は[ s-1 ] 。これに機速の v0 [ m・s-1 ] が合成される。

これらの合成速度を V図 B 下方では破線で示したのみ)とすると
 V2 = v02 + ( 2πn ・r )2 
 tanΦ0 = v0 / ( 2πn ・r)
で表されるので、迎え角は α= β-Φ0 となるのだがそうは問屋が卸さない。

なぜなら、モーメンタム(運動量)理論で使ったプロペラが吸い込む負圧で生じた速さの増分⊿V の扱い方がある。

モーメンタム理論では質量の速さだけでいいのだが翼素理論では大きさと方向(ベクトル)を持った速度でなければならない。

そこで、図 B のように誘起速度 w と名前を変えておく。実際の誘起速度 W は三次元の速度であり、図中で小文字の w は回転方向と吸引される方向の速度ベクトルを示しています。残った半径方向のベクトルは省略または無視しています。

この w のベクトルはプロペラの回転に引っ張られており、図 B のように 2πn・r を減らし v0 を増やすことになる。

したがい、実際の合成速度のベクトルを方向を持った大きさを U 、その方向を角度を Φ で表すと、w の進行方向に対する偏角をδとして
 U2 = ( 2πn r  - w ・sinδ)2 +  ( v0 + w・cosδ)2
 tan Φ = (v0  + w・cosδ)/( 2πn ・r  - w・sinδ)
となり、迎え角は α= β-Φ となる。

ちなみに Φ0  は前進角、 Φ は実効前進角と呼ぶ。

本格的な参考書にはここまでの説明があるが、実際に (Φ-δ ) を計算するには w を知る必要がある。渦理論で解く文献の紹介があるけれども、この先は U = VΦ = Φ0  として扱っている。さらに一般的な参考書では w そのものを頭から無視しているようだ。

ということで、当CEOもこれに倣うことにして、翼素理論による推進効率の解析は次回に続く。

なお、次回も 図 A図 B を参照しながら進めるので、通常設定としている画像上のクリックによる画面上のポップ・アップから別窓による表示に変更してあります。 

-------------閑話開題---------------

でもやはり誘起速度 W と飛行速度 V の関係は気になる。

 W = ⊿V としてモーメンタム理論で解いてみよう・・・そんな無謀なことができる ? のも素人だからでありますが・・・(モーメンタム理論の解法で使われたプロペラ回転面に入るまでに増速された流速を示すあれであります。)

まず双発機以上にも適応できるように モーメンタム理論による推力 T を変形して、

 T = 2ρ・n A・⊿v・(V +⊿v) 
n :ここではプロペラの数。なお、その直径もエンジンも同一とします。
A :プロペラ回転面面積。

この式の ⊿v は二次方程式の解法で解ける。解いたのち両辺を V で割って速度比にすると、

 ⊿v/V = (- 1±[ 1 + 2・{ T / (ρ・n ・A・V2 ) } ]1/2 )/ 2

水平に一定速で飛行しているとすると推力 T は抵抗 D とつり合っており、
(当オフィスの過去の関連記事は こちら ただし記号の表示方法は若干異なっています)

 T = D = (ρ・SF・CDp)V2/ 2+ WT2/{(ρ・SW・π・As・e/2)・V2

前項は機体全体の形状抵抗で、
 SF : 機体全体の全面投影面積
 CDp : 機体全体の形状抵抗係数

後項は誘導抵抗で、
 SW :翼面積
 As :アスペクト比。 e は翼端形状によるアスペクト比の修正係数
 WT :機体重量、などなど

(厳密には機体全体の表面積と速度の積に比例する摩擦抵抗もあるが省略)

前者は速度の二乗に比例し、後者は速度の二乗に反比例している。したがい両者の値が相等しくなる速度がある。

その場合の全抵抗は前項を二倍して次式と等価となる。

 T = (ρ・SF・CDp)・V2

これを代入して

 ⊿v/V = (- 1±[ 1 + 2・[ CDp・{ SF / (n ・A ) } ]1/2 )/ 2  

その結果、ある特定の飛行速度では、「機全体の形状抵抗係数」と「機体全面投影面積とプロペラの回転面面積の合計との比」との関係になる。

ちなみに双発機以上の場合、各プロペラの直径  D を単発機の相当プロペラ直径  D' に換算するには D' = n1/2 ・D となる。双発だと 1.41 倍、三発で1.73、四発機だと 2 倍となる。

透けて見える紙にそれぞれの円を作り、その直径の 1.41 、1.73 、2.00、 2.24倍くらいまでの直径で同心円を描いておく。

この図を正面図の胴体の中心に置き、はみ出した部分をあいた隙間に押し込んで、だいたいどの円の中に納まるかを決める・・・面積比は同心円の内側から1、2、3、4、5 となる・・・。

手持ちの三面図では、面積比 SF / n ・A は、 1 強、 2 弱、といったところか・・・素人だからね、細かいことは言いっこなーしよ。

形状抵抗係数 CDp は、 図 A と同じ参考書からプロペラ機を拾い出して、

機   名 CDp
ライト・フライヤー 1 号  0.075
スピリット・オブ・セントルイス  0.033
メッサーシュミット Bf 108   0.018
ノースアメリカン P-51 ムスタング   0.020
ボーイング B-29   0.033
ロッキード・コンステレーション  0.019
セスナ 170   0.032
ビッカース・バイカウント  0.017

ライト・フライヤーは「ヘェー」にとどめて、その他から、⊿v/V ≧ 0 )の最大と最小値を作る組み合わせで計算した範囲は、 

 ⊿v/V = 0.0162 ~ 0.0042 ( ≒ w/V )

特定の速度条件では 1 % 前後の違いのようなので Φ = Φ0  としても問題はない、といえる。

この試算に使った速度は機体の全抵抗が最小となる条件の場合です。

燃料の減少に合わせてこの条件に合う速度(同じ高度では次第に速くなる)で飛べば最も長時間飛べる条件、すなわち飛行距離を長く飛行時間に短くすることに重点を置くいわゆる巡航速度より遅くなっています。

この速度を基準にすると、この速度以上では誘導抵抗は速度の二乗に反比例して小さくなり、速度が無限大では誘導抵抗は 0 になる。計算上は⊿v/V の比は一定値に近づく。

速度が基準より小さくなると速度の二乗に反比例して大きくなる。したがい速度 0 で計算上は⊿v/V の比は無限大になる。

⊿v/V (≒ w/V 誘起速度との比)の式では機体の誘導抵抗の項が、速度(実質 V2 )に反比例する、ことになる。

また機体に誘導抵抗がない場合には⊿v/V の比は速度 V に影響されない。速度 V が無限大になったときの下式の値と同じです。

⊿v/V = (- 1±[ 1 + [ CDp・{ SF / (n ・A ) } ]1/2 )/ 2 

結論として、誘起速度は、離陸時から上昇時などの低速飛行時を除く一定速の水平飛行では無視できる。(上昇や加速で推進力を増加させれば誘起速度は増加する)

--------------これにて閑話は休題--------------

(その 2 )に続く。

2016年5月22日 (日)

キネマ航空CEO 航空エンジンのお仕事の効率を運動量理論で考える(ターボ・ジェットの巻)

どんなエンジンでも、

発生する運動エネルギー = 仕事 + 残留エネルギー

が成立します。この(ほっておけば損失エネルギーとなる)残留エネルギーの回収、すなわち効率の向上が今回からのテーマです。

いろいろな航空エンジンは、飛行する速度域で生じる残留エネルギーを仕事に振り変える工学上の理論から生まれた構造です。

航空エンジンは、時間的な出現の順序を無視すると、熱エネルギーから得られる運動エネルギーを直接に推力として利用する「ターボ・ジェット」と、熱エネルギーを回転力に変えてプロペラやローターにファンといった空気機械を介して推力に変える「レシプロ」、「ターボ・シャフト」、「ターボ・プロップ」、「ターボ・ファン」などのエンジンに分けられる。

このうち、ターボ・ジェット・エンジンの仕事と効率は意外と簡単に数式化できる。

まずニュートンの運動の第2法則から「物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい」が前提となる。すなわち、(以下質量の値を示す m と長さの単位を示す[ m ] がありますが混同しないでくださいね)

W = F・v1 = m・v1 (vj - v1
 W : 質量 m の物体を速度 v1 を維持しながら抵抗に逆らって移動させる(あるいは速度 v1 から vj へ増速する)ために必要な 仕事・・・定義では明示されていないが(慣性抵抗も含めて)抵抗がなければ仕事は発生しない。 [J = kg・m2・s-2 = N・m] J(ジュール): 1 N の力で、その力の方向に物体を 1 m 移動させる仕事の単位
 F : 質量に加速度 を生じさせる力 [N = kg・m・s-2 ]
    N (ニュートン):質量 1 kg の物体に 1 m・s-2加速度与える力の単位
 m : 物体の質量 [kg ]
 v1 : 移動中の物体の速度 [ m・s-1 ]
 vj - v1 : 物体に加えられた速度の変化 [ m・s-1 ]

ちなみに工学の基礎である物理学の数式では、運動エネルギーは K で、仕事は W で、あらわされる。その単位はどちらも [ kg・m・s-2 ] です。

つまり、どちらも「質量[ kg ]」と「速度[ m・s-1 ]の二乗」の積に比例している・・・のだが、

定義は違います。「 運動エネルギーは物体の速度を変化させる際』に必要な仕事」です。仕事の定義と並べても何となく微妙な違いのような定義なのですが・・・

その違いは運動エネルギー K のすべてが仕事 W に変わるのか、というと・・・そうでもないところにあります。

今回の「物体」とは、ジェット機の機体ではなく、ジェットエンジンに投入された燃料の混じった気体の質量 m で、「変化量」はエンジンに入る前と後の気体の速度(それぞれ v1 と vj )で運動エネルギーの変化を計算します。

ジェット機の機体はこの気体(物体)の反力で飛ぶことになります。ニュートンの運動の第1法則(慣性)の座標系にいるエンジン付き航空機はこの運動の第2法則と第3法則(作用反作用)で説明されます・・・(閑話休題)。

運動エネルギーは、質量に速度の二乗を掛けて 2 で割ってえられる馴染み深い運動エネルギーの差の式であらわされます、 vj ≧ v1 だから、

K = (1/2) m・(vj2 - v12
 m : ジェット・エンジンを通過する気体の質量 
 vj  : ジェット・エンジンによって加速された気体の速度
 v1ジェット・エンジンに流入する前の気体の速度。
        すなわちジェット・エンジン(機体)の進行速度。
厳密にいえば空気と燃料の質量については分離して、燃料の速度は燃料ポンプによって加速された速度を使って同様の式を付け加える必要があるが空燃比から計算すると数%の影響なのでここでは無視します。

(vj2 - v12 ) = (vj + v1 )(vj - v1 ) と因数分解できるが、これは後で使うことにして、
ここでは・・・
           = vj2 - 2vj1+ 12 + 2vj1 - 212 と差し引き 0 となる項を挿入し、 
括弧で括ると
           = (vj - v1 2 + 2v1(vj - v1
となります。

これを、元の運動エネルギー K の式に代入して順序を入れ替えると、

K = m・v1(vj - v1 + (1/2) m・(vj - v1 2

つまり「運動エネルギーの式」を書き換えたら、その式の前項はジェット機を速度 v1 で飛ばす冒頭の「仕事の式」と同じジェット・エンジンの仕事になります。

したがい、後項はターボ・ジェット・エンジンが推進仕事に寄与しない(捨てることになる)残留エネルギーとなります。

ここでジェット・エンジンの仕事効率 η は、必要とした仕事 W を投入した運動エネルギーの K で割って整理することで、

η= W/K = m・v1j - v1)/K =  2/( 1 + j /1

効率では質量 m と速度の変化量 (j - v1) は消去されます。

この式をグラフであらわす場合には、縦軸に効率 η、横軸に 1 /j (数式とは逆の比にすることに注意:数式は単純に、グラフでは「∞(無限遠)」を「0」にする視覚上で美しくする技法です)をとります。 グラフ は こちら にあります。

ジェット機の機体が停止しておれば v1 = 0 で仕事効率も 0 、 v1 = vj (v1/vj= 1)で飛んでいれば効率は 1 。

機速とジェット・ブラストの(噴射)速度比 v1 /vj が 0 から 1 に変化すると、効率も 0 から 1 に変化する。そして、 v1 /vj = 0.5 の場合の効率は 0.5 ではなく 0.667 となっており直線変化ではない弓型のグラフがつくれます。

ところで、機速が 0 で仕事効率が 0 といっても静止推力は出ています。したがい仕事効率が 0 であっても仕事は開始できます。仕事効率とは対象となる機体が(ジェットが噴射した物体の反力で)動いているときにナンボの値です。
厳密には圧縮機の吸い込み速度がありますから、その⊿v が v1 に相当します。工学の数式には省略や拡張によって真理ではなくても本質を表す「これでいいのだ」があるのです。・・・飛行機が停止していてはエンジンがいくら頑張っていても仕事はしていません。…ブレーキを踏んだトルコン付き自動車のアイドリングと同じで100%の残留エネルギー損失にお金を払っています。

効率って何だろう? 「空吹かし」なんてもってのほかですね…えっ ?! エアコンを利かせている…俺の金だ文句があるのか ! ・・・まあ、大型旅客機では飛行中は停止して推力に寄与しない空調兼発電用の小型タービン・エンジンをお尻に搭載している理由でしょうか。ジェット・エンジンと似て否なるタービン・エンジンは後段で(閑話休題)

いっぽう、機速 v1 と 噴射速度 vj  が等しいと効率は 1 、つまり運動エネルギーは 100% が仕事として使われることを示しているのですが、どっこい、元の仕事の式に戻ると仕事 W は 0 です。したがい、現実の仕事効率は 0 です。

つまり水平飛行で最高速を出しているジェット機はジェット・エンジンの出力を 100%使った仕事で飛べるているわけではありません。 その一歩手前で飛んているのです。

とはいえ、ジェット・エンジンでは速く飛ぶ方が効率が良い。逆に言えば離陸時を含め最高速に達するまでの避けられない速度域での効率が悪いと言えます。

以上の計算式は、ジェット・エンジンに必須の圧縮機や潤滑油ポンプを駆動するタービンのなど必然的にエンジン内部で発生する仕事(正確には回転力)を除いて、エンジンから外部にとり出しているエネルギーと仕事の関係を示す効率です。

運動エネルギーを作るために投入した燃料の持つ熱エネルギーを分母とした(総合)効率ではありません。

また、最高速度より遅い巡航速度ではターボ・ジェットの効率は悪いのか、というと別の問題が絡んできます。

投入する燃料を減らせば排気温度は下がり噴出する空気の速度 vj も小さくなりますから仕事効率は 1 に近づきます。そのいっぽうでは、エンジンの中での圧縮機の仕事では回転数の低下範囲が制限されておりエンジン自体の総合効率や機体との適合性が問われることになります。

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さて、機速としてはゼロで発電などに使用される定置式のタービン・エンジンは運動エネルギーを回転力に変えて出力としていますから、推力として使うジェット・エンジンとは仕事の考え方そのものが違います。

回転力は軸出力と呼ばれています。これをもっとも簡単な式で表すと
P = 2π・n・T
 P : 軸出力[ W (ワット) = N・m ・ s-1 = kg・m2・s-3 ] 
   つまり「単位時間当たりの仕事」です
 T : トルク [ N・m = kg・m2・s-2 ]
   ではトルクは仕事のことか? と問われても、
それは違います。
   あくまで、力 [ N = kg・m・s-2 ] x 腕の長さ [ m ] です
 n : 回転速度。
単位時間あたりの回転数 [ s-1 ]、
 2π: 回転速度を回転角速度へ換算する無次元の係数

定置式のタービン・エンジンではヘリコプターのホバリングと同じで、エンジンに流入する気体の速度はゼロではなく、ローターの場合と同じく吸い込みによる速度の増分が ⊿v がクロース・アップされてきます。

回転力は(体積や圧力など)熱に関わる推力に比例する関係があることは間違いない。
したがいタービン・エンジンは吸入口と排気口の温度を同じにすることで途中で燃料の燃焼で得られた熱エネルギーを回収ができ、最大の効率で回転力を取り出せる。

つまり時間当たりの空気の通過体積を(必然的に通過質量も)同じにする構造で回転力を取り出す設計を目指します。(現実では不可能ですけど)

よく似た構造のジェット・エンジンでは、通過後の空気の速度を叶う限り増加させるために、時間当たりの空気の通過質量を同じ(だけど必然的に体積は増加)となる構造に設計されています。(現実では高温の空気が流れる燃焼室、タービン、噴射口などの構造や材質からくる耐高温性能の制限があります)

また、既にお気づきのように実際の排気には燃料が気体となった体積や質量の増分があります。しかし無視して工学上の「これでいいのだ」の言い回しを使っています。

・・・これにて、ストップ・ザ・フン詰まり、もとい快通エンジン工学の基礎の閑話を休題・・・バカボンのパパはえらいのだ!!

タービン・エンジンで取り出した回転力の単位は「単位時間当たりの仕事」であることからわかるように、「仕事」と「運動エネルギー」を用いた効率とは別物です。回転力すなわち軸出力の効率は「単位時間当たりの熱エネルギー」との比になります。

と、いうことで燃焼速度など、当CEOの苦手とする燃焼化学が基礎理論となりますので以降はパスします。

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さて、さて、レシプロやターボ・シャフトのエンジンでは回転力によるプロペラやローターの仕事として推力に変えています。

ターボ・プロップやターボ・ファンは、というと、エンジンの仕事の一部を、というより大半を軸出力の仕事としてプロペラやファンに受け持たせて、推進力を直接使ったターボ・ジェットの速度比の中間部分の推進効率の向上を図ります。

ところが、プロペラなどの推進効率を運動量理論で求めると、ジェットのそれと同じになってしまいます。

このためプロペラの仕事(推進)効率は翼素理論で解く必要がありますが、これは、少し(当CEO にはかなり)面倒なので項を改めて出直します。

 出直しました! 次回から続く 3 回をお読みください。

先回の予告した初期のターボファン・ジェットすなわちバイパス・ジェットは回を改めてごく小さくまとめるつもりです。

修正はあるかもしれませんが今回はこれにて終わり、です。

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